Question

已知數(shù)列，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項，這三項構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；
（3）設(shè)，其中為常數(shù)，且，
，求.

Answer 1

解：⑴∵=，∴
，
∵∴為常數(shù)∴數(shù)列為等比數(shù)列
⑵取數(shù)列的連續(xù)三項，
∵，
，∴，即，
∴數(shù)列中不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列；            
⑶當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時；
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。
由得，
設(shè)，則是上的減函數(shù)，∴的解只有一個
從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，此時；
當(dāng)時，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。
從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，此時；
綜上，當(dāng)，或時，；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，。      

解析