Question

如圖，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC，D是AB的中點，AB=

2

a，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜

π

2

）
（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）當角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC，D是AB的中點，我們易得到VC⊥AC，VC⊥BC，進而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到平面VAB⊥平面VCD；，以C為坐標原點，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標系如圖，我們求出各頂點的坐標，進而確定直線AB與平面VCD的法向量，利用向量法證明，AB⊥平面VCD，再由面垂直的判定定理得到平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）設平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），并求出平面VAB的法向量

n

，并設直線BC與平面VAB所成角為φ，根據(jù)已知中AB=

2

a，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜

π

2

），結(jié)合向量夾角公式，易得到直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=

2

a，AC=BC=a，
∴AC⊥BC，
∵VC⊥AC，VC⊥BC，
∴VC⊥平面ABC，
以C為坐標原點，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標系如圖，

則A（a，0，0），B（0，a，0），D（

a

2

，

a

2

，0），V（0，0，

2 a

2

tanθ ），
∴

VD

=（

a

2

，

a

2

，-

2 a

2

tanθ ），

CD

=（

a

2

，

a

2

，0），

AB

=（-a，a，0），
∴

AB

•

CD

=0，

AB

•

VD

=0，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD，
（Ⅱ）設平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），
∴

n

•

AB

=0，

n

•

VD

=0，
∴

-ax+ay=0 a 2 x+ a 2 y-aztanθ=0

，
∴又

n

=（1，1，

2

tanθ

），
又∵

BC

=（0，-a，0）
設直線BC與平面VAB所成角為φ，
∴sinφ=|

BC • n

| BC |•| n |

|=

2

2

sinθ，
∵0＜θ＜

π

2

，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

2

2

0≤φ≤

π

2

，∴0＜φ＜

π

4

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中建立空間坐標系，將面面垂直的證明及直線與平面的夾角均轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．