Question

已知二次函數(shù)的圖象過原點且關于y軸對稱，記函數(shù) ．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

解：（I）∵y=ax²+（b+）x+c-1是偶函數(shù)，
∴b+=0，b=-，
又∵圖象過原點，
∴c=1，
∴b=-，c=1，
（Ⅱ）當a=時，h（x）=（）
h′（x）=
=
=
令f′（x）＜0得，
函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（2-，2+），
（III）∵函數(shù)h（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=（ax²-x+1）+（2ax-）=
即5ax²-2x+1=0存在正根，△=4（1-5a）．
①當a＞時，△＜0，方程5ax²-2x+1=0無實數(shù)根，
此時函數(shù)h（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當a=時，△=0，方程5ax²-2x+1=0根為x=1，
此時函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當0＜a＜時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂，x₁+x₂=＞0，x₁x₂=＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個不等的正實數(shù)根
此時函數(shù)h（x）的圖象上有垂直于y軸的切線
④a＜0時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有且僅有一個正實數(shù)根，此時函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
綜上：
當a＞時，不存在垂直于y軸的切線
當a=或a＜0時，存在一條垂直于y軸的切線
當0＜a＜時，存在垂直于y軸的切線．
分析：（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則常數(shù)項為0，若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于y軸對稱，故不難求出b，c的值．
（II）當a=時，結合（1）的結論不難給出函數(shù)導函數(shù)的解析式，確定導函數(shù)的符號易得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（III）如果函數(shù)圖象上存在垂直于y軸的切線，則切點處的導數(shù)為0，結合導數(shù)即可求解．
點評：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的應用、導數(shù)的應用等基礎知識，考查待定系數(shù)法．待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法之一，當函數(shù)f（x）類型確定時，可用待定系數(shù)法．其解題步驟一般為：①根據(jù)函數(shù)類型設出函數(shù)的解析式（其中系數(shù)待定）②根據(jù)題意構造關于系數(shù)的方程（組）③解方程（組）確定各系數(shù)的值④將求出的系數(shù)值代入求出函數(shù)的解析式．