Question

已知圓Cx²+y²+2x-4y+3=0
（1）已知不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且被圓C截得的線段長(zhǎng)為2的直線方程．

Answer 1

分析：（1）已知切線不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出變量即可求直線l的方程；
（2）利用斜率存在與不存在兩種形式設(shè)出直線方程，通過(guò)圓心到直線的距離、半徑半弦長(zhǎng)滿足勾股定理，求出經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且被圓C截得的線段長(zhǎng)為2的直線方程．

解答：解：（1）∵切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等且不為零，設(shè)直線方程為x+y+c=0…1分
圓C：x²+y²+2x-4y+3=0
圓心C（-1，2）半徑為

2

，
圓心到切線的距離等于圓半徑：

|-1+2+c|

12+12

=

2

，…3分
解得c=1或c=-3…4分
∴l(xiāng)或δ=1…5分
所求切線方程為：x+y+1=0或x+y-3=0…6分
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為y軸，此時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），（0，3），線段長(zhǎng)為2，符合
故直線x=0…8分
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx，即kx-y=0
由已知得，圓心到直線的距離為1，…9分
則

|-k-2|

k2+1

=1⇒k=-

3

4

，…11分
直線方程為y=-

3

4

x
綜上，直線方程為x=0，y=-

3

4

x…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．