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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.

          (1)求直線PC與平面ABC所成角的大;
          (2)求二面角B﹣AP﹣C的大。

          【答案】
          (1)解:[解法一]

          設AB中點為D,AD中點為O,連接OC,OP,CD.

          因為AB=BC=CA,所以CD⊥AB,

          因為∠APB=90°,∠PAB=60°,所以△PAD為等邊三角形,所以PO⊥AD,又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AD.

          PO⊥平面ABC,∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角

          不妨設PA=2,則OD=1,OP= ,AB=4.

          所以CD=2 ,OC= = =

          在RT△OCP中,tan∠OCP= = =

          故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan

          [解法二]

          設AB中點為D,連接CD.因為O在AB上,且O為P在平面ABC內的射影,

          所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AB,且PO⊥CD.因為AB=BC=CA,所以CD⊥AB,設E為AC中點,則EO∥CD,從而OE⊥PO,OE⊥AB.

          如圖,以O為坐標原點,OB,OE,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz.不妨設PA=2,由已知可得,AB=4,OA=OD=1,OP= ,

          CD=2 ,所以O(0,0,0),A(﹣1,0,0),C(1,2 ,0),P(0,0, ),所以 =(﹣1,﹣2 , =(0,0, )為平面ABC的一個法向量.

          設α為直線PC與平面ABC所成的角,則sinα= = = .故直線PC與平面ABC所成的角大小為arcsin


          (2)解:[解法一]

          過D作DE⊥AP于E,連接CE.

          由已知,可得CD⊥平面PAB.根據三垂線定理知,CE⊥PA.所以∠CED為二面角

          B﹣AP﹣C的平面角.由(1)知,DE= ,在RT△CDE中,tan∠CED= = =2,故二面角B﹣AP﹣C的大小為arctan2.

          [解法二]

          由(1)知, =(1,0, ), =(2,2 ,0).

          設平面APC的一個法向量為 =(x,y,z),則由 得出 ,

          取x=﹣ ,則y=1,z=1,所以 =(﹣ ,1,1).設二面角B﹣AP﹣C的平面角為β,易知β為銳角.

          而面ABP的一個法向量為 =(0,1,0),則cosβ= = =

          故二面角B﹣AP﹣C的大小為arccos


          【解析】解法一(1)設AB中點為D,AD中點為O,連接OC,OP,CD.可以證出∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角.不妨設PA=2,則OD=1,OP= ,AB=4.在RT△OCP中求解.(2)以O為原點,建立空間直角坐標系,利用平面APC的一個法向量與面ABP的一個法向量求解.解法二(1)設AB中點為D,連接CD.以O為坐標原點,OB,OE,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz.利用 與平面ABC的一個法向量夾角求解.(2)分別求出平面APC,平面ABP的一個法向量,利用兩法向量夾角求解.

          練習冊系列答案
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          (2)若政府不調控,按照3月份至7月份房價的變化趨勢預測12月份該市新建住宅的銷售均價.

          參考數據:,,;

          參考公式:.

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          (1)求的值;

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          步數/步

          0~2000

          2001~5000

          5001~8000

          8001~10000

          10000以上

          男性人數/人

          1

          6

          9

          5

          4

          女性人數/人

          0

          3

          6

          4

          2

          規(guī)定:用戶一天行走的步數超過8000步時為“運動型”,否則為“懈怠型”.

          (1)將這40人中“運動型”用戶的頻率看作隨機抽取1人為“運動型”用戶的概率.從該用戶的“微信運動”朋友圈中隨機抽取4人,記為“運動型”用戶的人數,求的數學期望;

          (2)現從這40人中選定8人(男性5人,女性3人),其中男性中“運動型”有3人,“懈怠型”有2人,女性中“運動型”有2人,“懈怠型”有1人.從這8人中任意選取男性3人、女性2人,記選到“運動型”的人數為,求的分布列和數學期望.

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          【題目】高鐵、網購、移動支付和共享單車被譽為中國的新四大發(fā)明,彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調查,得到如下數據:

          每周移動支付次數

          1次

          2次

          3次

          4次

          5次

          6次及以上

          10

          8

          7

          3

          2

          15

          5

          4

          6

          4

          6

          30

          合計

          15

          12

          13

          7

          8

          45

          (Ⅰ)把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”,由以上數據完成下列列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認為“移動支付活躍用戶”與性別有關?

          移動支付活躍用戶

          非移動支付活躍用戶

          總計

          總計

          100

          (Ⅱ)把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為移動支付達人”.為了做好調查工作,決定用分層抽樣的方法從“移動支付達人”中抽取6人進行問卷調查,再從這6人中選派2人參加活動求參加活動的2人性別相同的概率?

          附公式及表如下:

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

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