Question

已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線y²=12x的焦點(diǎn)重合，且橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（m，n）是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，求直線l：mx+ny=1被圓O：x²+y²=1所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）算出拋物線焦點(diǎn)F（3，0），設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），結(jié)合題意建立關(guān)于a、b、c的方程組，解出a、b、c的值，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）由點(diǎn)到直線的距離公式，算出0到l的距離d=

1

m2+n2

＜1=r，從而利用垂徑定理算出直線l被圓0截得的弦長(zhǎng)L=2

1- 1 9 25 m2+16

，由橢圓的性質(zhì)得0≤m²≤25，代入加以計(jì)算可得直線l被圓0截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）拋物線y²=12x的焦點(diǎn)是F（3，0），
設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解之得a=5，b=4，c=3，
所以橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1…（4分）
（Ⅱ）∵點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m²+n²，
又∵直線l與圓0相交，
∴圓心0到直線l的距離d=

1

m2+n2

＜1=r．
直線l被圓0截得的弦長(zhǎng)為
L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2 +n2

=2

1- 1 9 25 m2+16

由于0≤m²≤25，所以16≤

9

25

m2+16≤25，則L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
即直線l被圓0截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是[

15

2

，

4 6

5

]…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓與拋物線滿足的條件，求橢圓的方程并依此求直線圓單位圓截得弦長(zhǎng)的取值范圍．著重考查了橢圓、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．