Question

某小區(qū)有一塊三角形空地，如圖△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，開發(fā)商計(jì)劃在這片空地上進(jìn)行綠化和修建運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所，在△ABC內(nèi)的P點(diǎn)處有一服務(wù)站（其大小可忽略不計(jì)），開發(fā)商打算在AC邊上選一點(diǎn)D，然后過點(diǎn)P和點(diǎn)D畫一分界線與邊AB相交于點(diǎn)E，在△ADE區(qū)域內(nèi)綠化，在四邊形BCDE區(qū)域內(nèi)修建運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所．現(xiàn)已知點(diǎn)P處的服務(wù)站與AC距離為10米，與BC距離為100米．設(shè)DC=d米，試問d取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所面積最大？

Answer 1

分析：解法一：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得到C、A、B、P、D的坐標(biāo)，再寫出直線DE、AB的方程，由此聯(lián)立解出E的坐標(biāo)，進(jìn)而表示△ADE的面積，利用基本不等式的知識(shí)分析可得答案；
解法二：分別過點(diǎn)P，E作AC的垂線，垂足為Q，F(xiàn)，設(shè)EF=h，分情況討論可得EF的長(zhǎng)度，進(jìn)而可以表示△ADE的面積，再利用基本不等式的知識(shí)分析可得答案．

解答：解：法一：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則C（0，0），A（0，180），B（90，0），P（10，100），D（0，d）．
DE直線方程：y-100=

d-100

-10

(x-10)，①
AB所在直線方程為2x+y=180，②
解①、②組成的方程組得，xE=

10d-1800

d-120

，
∵直線DE經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)d=

225

2

，
∴0＜d＜

225

2

，
S△ADE=

1

2

AD•|xE|=

1

2

•(180-d)•

10d-1800

d-120

設(shè)120-d=t∈(

15

2

，120)，S△ADE=5•

(60+t)2

t

=5•(t+

3600

t

+120)，
∵t+

3600

t

≥120（當(dāng)且僅當(dāng)t=60，即k=4時(shí)取等號(hào)），
此時(shí)d=120-t=60，
∴當(dāng)d=60時(shí)，綠化面積最小，從而運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積最大．
法二：如圖，分別過點(diǎn)P，E作AC的垂線，垂足為Q，F(xiàn)，設(shè)EF=h，
若如圖1所示，則PQ=10，CQ=100，DQ=100-d，
由△AFE～△ACB得

AF

180

=

h

90

，即AF=2h，從而CF=180-2h，DF=180-2h-d，
由△DPQ～△DEF得

10

h

=

100-d

180-2h-d

，解得h=

1800-10d

120-d

若如圖2所示，則PQ=10，CQ=100，DQ=d-100，AF=2h，CF=180-2h，DF=2h+d-180，由△DPQ～△DEF得

10

h

=

100-d

180-2h-d

，
解得h=

1800-10d

120-d

；
由0＜h＜90得0＜d＜

225

2

，
由S△ADE=

1

2

AD•h=

1

2

•(180-d)•

10d-1800

d-120

，
設(shè)120-d=t∈(

15

2

，120)，
S△ADE=5•

(60+t)2

t

=5•(t+

3600

t

+120)，
∵t+

3600

t

≥120（當(dāng)且僅當(dāng)t=60，即k=4時(shí)取等號(hào)），
此時(shí)d=120-t=60，
∴當(dāng)d=60時(shí)，綠化面積最小，從而運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意，建立正確的模型，得到關(guān)于關(guān)于三角形面積的不等關(guān)系式．