Question

如圖，兩個圓形飛輪通過皮帶傳動，大飛輪O₁的半徑為2r（r為常數(shù)），小飛輪O₂的半徑為r，O₁O₂=4r．在大飛輪的邊緣上有兩個點A，B，滿足∠BO1A=

π

3

，在小飛輪的邊緣上有點C．設(shè)大飛輪逆時針旋轉(zhuǎn)一圈，傳動開始時，點B，C在水平直線O₁O₂上．
（1）求點A到達(dá)最高點時A，C間的距離；
（2）求點B，C在傳動過程中高度差的最大值．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)₁為坐標(biāo)系的原點，O₁O₂所在直線為x軸，當(dāng)點A到達(dá)最高點時，點A繞O₁轉(zhuǎn)過

π

6

，則點C繞O₂轉(zhuǎn)過

π

3

，確定A、C的坐標(biāo)，即可求得A，C間的距離；
（2）由題意，設(shè)大飛輪轉(zhuǎn)過的角度為θ，則小飛輪轉(zhuǎn)過的角度為2θ，其中θ∈[0，2π]，可求得點B，C高度差為d=2r|sinθ-sinθcosθ|，構(gòu)造函數(shù)f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）以O(shè)₁為坐標(biāo)系的原點，O₁O₂所在直線為x軸，如圖所示建立直角坐標(biāo)系．
當(dāng)點A到達(dá)最高點時，點A繞O₁轉(zhuǎn)過

π

6

，則點C繞O₂轉(zhuǎn)過

π

3

．（2分）
此時A（0，2r），C(

9

2

r，

3

2

r)．（4分）
∴AC=

25-2 3 r

．（5分）
（2）由題意，設(shè)大飛輪轉(zhuǎn)過的角度為θ，則小飛輪轉(zhuǎn)過的角度為2θ，其中θ∈[0，2π]．
此時B（2rcosθ，2rsinθ），C（4r+rcos2θ，rsin2θ），（6分）
記點B，C高度差為d，則d=|2rsinθ-rsin2θ|，即d=2r|sinθ-sinθcosθ|．（7分）
設(shè)f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，則f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）．（8分）
令f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）=0，得cosθ=-

1

2

或1．（9分）
則θ=

2

3

π，

4

3

π，0或2π．（10分）
列表：

θ	0	（0， 2 3 π）	2 3 π	（ 2 3 π， 4 3 π）	4 3 π	（ 4 3 π，2π）	2π
f′（θ）		+	0	-	0	+
f（θ）	0	?	極大值f（ 2 3 π）	?	極小值f（ 4 3 π）	?	0

∴當(dāng)θ=

2

3

π時，f（θ）取得極大值為

3 3

4

；當(dāng)θ=

4

3

π時，f（θ）取得極小值為-

3 3

4

．
∴點B，C在傳動中高度差的最大值d_max=

3 3

2

r．（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)知識的運用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)法解決實際問題，綜合性強．