Question

將曲線xy=1繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，求所得曲線的方程．

Answer 1

分析：由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣M=

cos45° -sin45° sin45°   cos45°

，設(shè)xy=1上的任意點(diǎn)P'（x'，y'）在變換矩陣M作用下為P（x，y），確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求得曲線的方程．

解答：解：由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣M=

cos45° -sin45° sin45°   cos45°

=

2 2  - 2 2 2 2     2 2

，
設(shè)xy=1上的任意點(diǎn)P'（x'，y'）在變換矩陣M作用下為P(x，y)，

2 2  - 2 2 2 2     2 2

x′ y′

=

x y

，
∴

x= 2 2 x′- 2 2 y′ y= 2 2 x′+ 2 2 y′

，得

y2

2

-

x2

2

=1
將曲線xy=1繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得曲線的方程為

y2

2

-

x2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是確定變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．