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        1. 定義為有限項(xiàng)數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度.

          (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求

          (Ⅱ)若數(shù)列滿足,求證:;

          (Ⅲ)設(shè)各項(xiàng)均不相等,且交換數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的位置,都會(huì)使數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度增加,求證:數(shù)列一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列.

          (Ⅰ)解:    ………………1分

          .          ………………3分

          (Ⅱ)證明:因?yàn)?sub>,

          ,

          所以.  ……4分

          因?yàn)?sub>,所以,或.

          ,則

          當(dāng)時(shí),上式,

          當(dāng)時(shí),上式,

          當(dāng)時(shí),上式,

          即當(dāng)時(shí),.   ………………6分

          ,

          ,

          .(同前)

          所以,當(dāng)時(shí),成立.     ……………7分

          (Ⅲ)證明:由(Ⅱ)易知對(duì)于四個(gè)數(shù)的數(shù)列,若第三項(xiàng)的值介于前兩項(xiàng)的值之間,則交換第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的位置將使數(shù)列波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變.(將此作為引理)

          下面來(lái)證明當(dāng)時(shí),為遞減數(shù)列.

          (ⅰ)證明.

          ,則由引理知交換的位置將使波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變,與已知矛盾.

          ,則,與已知矛盾.

          所以,.                                      ………………9分

          (ⅱ)設(shè),證明.

          ,則由引理知交換的位置將使波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變,與已知矛盾.

          ,則,與已知矛盾.

          所以,.                                             …………11分

          (ⅲ)設(shè),證明.

          ,考查數(shù)列,

          則由前面推理可得,與矛盾.

          所以,.                                         ……………12分

          綜上,得證.

          同理可證:當(dāng)時(shí),有為遞增數(shù)列.            ………………13分

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          (Ⅰ)當(dāng)an=(-1)n時(shí),求τ(a1,a2,…,a100);
          (Ⅱ)若數(shù)列a,b,c,d滿足(a-b)(b-c)(c-d)>0,求證:τ(a,b,c,d)≤τ(a,c,b,d);
          (Ⅲ)設(shè){an}各項(xiàng)均不相等,且交換數(shù)列{an}中任何相鄰兩項(xiàng)的位置,都會(huì)使數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度增加,求證:數(shù)列{an}一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列.

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          (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求;
          (Ⅱ)若數(shù)列滿足,求證:;
          (Ⅲ)設(shè)各項(xiàng)均不相等,且交換數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的位置,都會(huì)使數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度增加,求證:數(shù)列一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列

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          (Ⅱ)若數(shù)列滿足,求證:;

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