Question

設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足以x=2，x=7為對(duì)稱軸，且在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，試求方程f（x）=0在[-2012，2012]根的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．803個(gè)

B．804個(gè)

C．805個(gè)

D．806個(gè)

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足以x=2，x=7為對(duì)稱軸，可以分析函數(shù)是以10為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，分析出一個(gè)周期中函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而分析出函數(shù)在[-2012，2012]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最后根據(jù)在[-2012，2012]根的個(gè)數(shù)為函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到答案．

解答：解：f（x）的對(duì)稱軸為x=2和x=7，
那么有：f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）
推得f（4-x）=f（14-x）=f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）=f（14-x）=f（x）
且閉區(qū)間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0
得f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0   
即在[-10，0]和[0，10]函數(shù)各有兩個(gè)解
則方程f（x）=0在閉區(qū)間[0，2012]上的根為2×201+1=403個(gè)，
方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2012，0]上的根為2×201=402個(gè)
得方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2012，2012]上的根的個(gè)數(shù)為805個(gè)
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵．