Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=PB．底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱QD上，滿(mǎn)足DE=2PE．求證：
（1）平面PAB⊥平面PMC；
（2）直線(xiàn)PB∥平面EMC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中，PA=PB．底面ABCD是菱形點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的‘三線(xiàn)合一’的性質(zhì)，我們易得到AB⊥平面PMC，再由面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）連BD交MC于F，連EF，由CD=2BM，CD∥BM，我們可以得到△CDF∽△MBF，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，可以得到DF=2BF．再根據(jù)DE=2PE，結(jié)合平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，易判斷EF∥PB，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵PA=PB，M是AB的中點(diǎn)．
∴PM⊥AB．（2分）
∵底面ABCD是菱形，∴AB=AC．
∵∠ABC=60°．
∴△ABC是等邊三角形．
則CM⊥AB．（4分）
∵PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PMC．（6分）
∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PMC．（8分）
（2）連BD交MC于F，連EF．

由CD=2BM，CD∥BM，易得△CDF∽△MBF．
∴DF=2BF．（10分）
∵DE=2PE，∴EF∥PB．（12分）
∵EF?平面EMC，PB?平面EMC，∴PB∥平面EMC．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握直線(xiàn)與平面垂直及直線(xiàn)與平面平行的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．