Question

設圓x²+y²-2x-2y+1=0的切線l交兩坐標軸于A（a，0），B（0，b），（ab≠0）．
（1）求a，b應滿足的條件；
（2）求線段AB中點的軌跡方程；
（3）若a＞2，b＞2，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）寫出直線l的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求a，b應滿足的條件；
（2）設出線段AB中點的坐標，得到坐標滿足的關系，代入直線l的方程可求AB中點的軌跡方程；
（3）若a＞2，b＞2，表示出△AOB面積的表達式，利用基本不等式求出三角形面積的最小值．

解答：解：（1）直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
依題意，圓心（1，1）到l的距離d=r
得

|b+a-ab|

b2+a2

=1⇒(a-2)(b-2)=2為a，b應滿足的條件；
（2）設AB的中點為P（x，y），則

a 2 =x b 2 =y

⇒

a=2x b=2y

代入（a-2）（b-2）=2，
有(x-1)(y-1)=

1

2

為線段AB中點的軌跡方程．
（3）由（a-2）（b-2）=2⇒ab=2a+2b-2．又a＞2，b＞2，
∴S△AOB=

1

2

ab=a+b-1
=(a-2)+(b-2)+3≥2

(a-2)(b-2)

+3=3+2

2

．
當且僅當a=b=2+

2

時取
等號，所以，△AOB面積的最小值是3+2

2

．

點評：本題考查直線與圓的位置故選，軌跡方程的求法，基本不等式的應用，考查計算能力．