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        1. 已知向量
          m
          =(cosx,-1),向量
          n
          =(
          3
          sinx,-
          1
          2
          ),函數(shù)f(x)=(
          m
          +
          n
          )•
          m

          (Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
          (Ⅱ)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,A為銳角,a=1,c=
          3
          ,且f(A)恰是f(x)在[0,
          π
          2
          ]上的最大值,求A,b和△ABC的面積.
          分析:(I)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式,并且結(jié)合三角函數(shù)的降次公式和輔助角公式化簡(jiǎn),得f(x)=sin(2x+
          π
          6
          )+2,再結(jié)合三角函數(shù)的周期公式,即可得到f(x)的最小正周期T;
          (II)根據(jù)(I)的表達(dá)式并且A為銳角,得當(dāng)A=
          π
          6
          時(shí),f(x)有最大值3,結(jié)合余弦定理和題中數(shù)據(jù)列式,解出b=1或b=2,最后利用正弦定理可得△ABC的面積.
          解答:解:(Ⅰ)∵
          m
          +
          n
          =(cosx+
          3
          sinx,-
          3
          2

          ∴(
          m
          +
          n
          )•
          m
          =cosx(cosx+
          3
          sinx)+
          3
          2
          =
          1
          2
          (1+cos2x)+
          3
          2
          sin2x+
          3
          2
          …(2分)
          ∴f(x)=
          1
          2
          (1+cos2x)+
          3
          2
          sin2x+
          3
          2
          =
          3
          2
          sin2x+
          1
          2
          cos2x+2=sin(2x+
          π
          6
          )+2…(5分).
          ∴f(x)的最小正周期T=
          2
          =π.…(6分)
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(A)=sin(2A+
          π
          6
          )+2
          ∵A為銳角,
          π
          6
          <2A+
          π
          6
          6

          ∴當(dāng)2A+
          π
          6
          =
          π
          2
          時(shí),即A=
          π
          6
          時(shí),f(x)有最大值3,…(8分)
          由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
          1=b2+3-2×
          3
          ×b×cos
          π
          6
          ,∴b=1或b=2,…(10分)
          ∵△ABC的面積S=
          1
          2
          bcsinA
          ∴當(dāng)b=1時(shí),S=
          1
          2
          ×1×
          3
          ×sin
          π
          6
          =
          3
          4
          ;當(dāng)當(dāng)b=2時(shí),S=
          1
          2
          ×2×
          3
          ×sin
          π
          6
          =
          3
          2
          .…(12分)
          綜上所述,得A=
          π
          6
          ,b=1,S△ABC=
          3
          4
          或A=
          π
          6
          ,b=2,S△ABC=
          3
          2
          點(diǎn)評(píng):本題是一道三角函數(shù)綜合題,著重考查了運(yùn)用正余弦定理解三角形、三角函數(shù)的周期性及其求法、三角恒等變形和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知向量
          m
          =(cos θ,sin θ)
          n
          =(
          2
          -sin θ,cos θ)
          ,θ∈(π,2π),且|
          m
          +
          n
          |=
          8
          2
          5
          ,求sinθ和cos(
          θ
          2
          +
          π
          8
          )
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知向量
          m
          =(cosα-
          2
          3
          ,-1),
          n
          =(sinα,1)
          m
          n
          α∈(-
          π
          2
          ,0)

          (1)求sinα-cosα的值.
          (2)求
          1+sin2α+cos2α
          1+tanα
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知向量
          m
          =(cosωx,sinωx)
          n
          =(cosωx,
          3
          cosωx)
          ,設(shè)函數(shù)f(x)=
          m
          n

          (1)若f(x)的最小正周期是2π,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
          (2)若f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=
          π
          6
          ,(0<ω<2),求f(x)的周期和值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知向量
          m
          =(cosα-
          2
          3
          ,-1),
          n
          =(sinα,1),
          m
          n
          為共線(xiàn)向量,且α∈[-π,0].
          (Ⅰ)求sinα+cosα的值
          (Ⅱ)求
          sin2α
          sinα-cosα
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知向量
          m
          =(cosθ,sinθ),
          n
          =(1-
          3
          sinθ,
          3
          cosθ)
          ,θ∈(0,π),若|
          m
          +
          n
          |=2
          2
          ,求cos(
          θ
          2
          +
          π
          6
          )
          的值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案