Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率e=，連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△ABO的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對(duì)角線相互垂直的四邊形的面積計(jì)算公式即可得出；
（2）由題意可知：當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，△AOB的面積取得最大值，得出m，n滿足的關(guān)系式，與m²+4n²=4聯(lián)立解出即可．
解答：解：（1）由題意可得解得a=2，b=1，，
所以橢圓的方程為．
（2）在△AOB中，|OA|=|OB|=1，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S_△AOB有最大值，
當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離為．
由??m²+n²=2．
又∵m²+4n²=4，聯(lián)立解得，此時(shí)點(diǎn)M．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對(duì)角線相互垂直的四邊形的面積計(jì)算公式、直線與圓相交交點(diǎn)與原點(diǎn)得到三角形的面積最大問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)與方法，要求有較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．