Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=qan+d（q，d為常數(shù)）．
（1）當(dāng)q=1，d=2時(shí)，求a2017的值；
（2）當(dāng)q=3，d=﹣2時(shí)，記 ，Sn=b1+b2+b3+…+bn ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=qan+d（q，d為常數(shù)）．

∴當(dāng)q=1，d=2時(shí)，an+1﹣an=2，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=4，公差d=2的等差數(shù)列，

∴an=4+（n﹣1）×2=2n+2，

∴a2017=2×2017+2=4036

（2）證明：當(dāng)q=3，d=﹣2時(shí)，an+1=3an﹣2變形得an+1﹣1=3（an﹣1）

∴數(shù)列{an﹣1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

∴ ，∴ ，

∴數(shù)列{bn}是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，

∴ ，

∴

【解析】（1）當(dāng)q=1，d=2時(shí)，an+1﹣an=2，從而數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=4，公差d=2的等差數(shù)列，由此能求出a2017 ． （2）當(dāng)q=3，d=﹣2時(shí)，an+1=3an﹣2變形得an+1﹣1=3（an﹣1），從而數(shù)列{an﹣1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而數(shù)列{bn}是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，由此能證明 ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．