Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）當時，

（i）求函數(shù)在點處的切線方程；

（ii）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）（i），（ii）

【解析】

（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)恒大于等于0或恒小于等于0求解的取值范圍；

（Ⅱ）當時，，，

求得與，再由直線方程的點斜式求解；

證明當，時，，，可得時不等式恒成立，然后利用導數(shù)證明時不等式不成立，則答案可求．

解：（1），

因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)或是單調(diào)遞減函數(shù)，

即或恒成立，也即或在上恒成立.

當時，，

所以.

（2）當時，，.

（i）因為，所以.

又，所以函數(shù)在點處的切線方程為.

（ii）由（i）知函數(shù)在點處的切線方程為，

下面先證明，.

證明：設函數(shù)，，

.

因為，所以，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以.

所以，.①

接下來證明：當時，.

設函數(shù)，則，

所以當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

又，所以，故，.②

依據(jù)①②式可知，當時，顯然成立.

當時，設，

則，

取，，

則.

又因為，由零點存在性判定方法可知：必存在，使得.

當時，，此時單調(diào)遞減，又，所以，矛盾.

綜上可知：.