Question

已知|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，且實(shí)數(shù)λ∈[

3

3

，1]，則

b

與

a

-

b

的夾角取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，設(shè)＜

a

，

b

＞=θ．在△OAC中，由余弦定理可得cos（π-θ）=1-

1

2λ2

．再利用實(shí)數(shù)λ∈[

3

3

，1]，即可得出θ的取值范圍，進(jìn)而得出答案．

解答： 解：如圖所示，
以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，設(shè)＜

a

，

b

＞=θ．
∵|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，
∴在△OAC中，由余弦定理可得cos（π-θ）=

| OA |2+| AC |2-| OC |2

2| OA |•| AC |

=

2| a |2- 1 λ2 | a |2

2| a |2

=1-

1

2λ2

．
∴cosθ=

1

2λ2

-1．
∵實(shí)數(shù)λ∈[

3

3

，1]，
∴(

1

2λ2

-1)∈[-

1

2

，

1

2

]．
∴θ∈[

π

3

，

2π

3

]．
當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，∠OBA=∠BAC=

1

2

∠OAC=

1

2

(π-

π

3

)=

π

3

，∴

b

與

a

-

b

的夾角=π-

π

3

=

2π

3

．
當(dāng)θ=

2π

3

時(shí)，∠OBA=∠BAC=

1

2

∠OAC=

1

2

(π-

2π

3

)=

π

6

，∴

b

與

a

-

b

的夾角=π-

π

6

=

5π

6

．
∴

b

與

a

-

b

的夾角取值范圍是[

2π

3

，

5π

6

]．
故答案為：[

2π

3

，

5π

6

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的平行四邊形法則、余弦定理、向量的夾角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．