Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，，圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為，與軸的交點(diǎn)N處的切線為， 并且與平行.

（1）求的值；  

（2）已知實(shí)數(shù)t∈R，求函數(shù)的最小值；

（3）令，給定，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)，

存在實(shí)數(shù)滿足：，，并且使得不等式

恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）①當(dāng)即時(shí)，              

②當(dāng)即時(shí)，  

③當(dāng)即時(shí)，

 ；      

,                      

【解析】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值，從而得到f（2）的值；

（2）令u=xlnx，再研究二次函數(shù)u²+（2t-1）u+t²-t圖象是對(duì)稱軸u= ，開口向上的拋物線，結(jié)合其性質(zhì)求出最值；（3）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+ ，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，得到當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，下面對(duì)m進(jìn)行分類討論：①當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，②當(dāng)m≤0時(shí)，③當(dāng)m≥1時(shí)，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求出a的取值范圍．

解: 圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，

圖象與軸的交點(diǎn)，

由題意可得，即，                    ………………………………………………2分

∴，                   …………………………………………3分

=………4分

令，在 時(shí)，，

∴在單調(diào)遞增，                    ………………5分

圖象的對(duì)稱軸，拋物線開口向上

①當(dāng)即時(shí)，               　…………………………………6分

②當(dāng)即時(shí)，   ………………………………7分

③當(dāng)即時(shí)，

            …………………8分

,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增      　　………………………9分

∴時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，有，

，

得，同理，　　…………………１０分

∴ 由的單調(diào)性知    、

從而有，符合題設(shè).          ………………11分

②當(dāng)時(shí)，，

，

由的單調(diào)性知 ，

∴，與題設(shè)不符 ……………12分

③當(dāng)時(shí)，同理可得，

得，與題設(shè)不符.           ……………………13分

∴綜合①、②、③得                       ……………14分

說明：各題如有其它解法，按照相應(yīng)的步驟給分.