Question

【題目】已知拋物線C： ，直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).

（1）若直線過拋物線C的焦點(diǎn)，求.

（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)M和N，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)16;(2) 的取值范圍是.

【解析】試題分析：（1）由直線過拋物線 的焦點(diǎn)可得， ，得到；故拋物線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)焦半徑公式可得的值；（2）根據(jù)直線垂直可得直線 的斜率，可設(shè)直線的方程為，代入中消去可得到： ，由韋達(dá)定理可得的中點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)，將中點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程可得，利用判別式大于零可求得的取值范圍.

試題解析：（1）依題意可知拋物線C的焦點(diǎn)為（），所以，得到；故拋物線方程為.

聯(lián)立方程，所以

（2）依題意可知直線垂直平分線段MN， 于是直線MN的斜率為-1，設(shè)其方程為，

代入中消去可得到：

設(shè)，從而；

故線段MN的中點(diǎn)G（），

又因?yàn)镚在直線MN： 上，

所以，

因?yàn)榉匠?/span>有兩個(gè)相異實(shí)根，所以，即，

于是，

故所求的取值范圍是.