Question

【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 為非奇非偶函數(shù)；（2）.

【解析】試題分析：（1）對(duì)于函數(shù) f（x）=x2+|x﹣a|+1，分當(dāng)a=0時(shí)、和當(dāng)a≠0時(shí)兩種情況，分別討論f（x）的奇偶性；

（2）當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，分a＞時(shí)和a≤時(shí)兩種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值．②當(dāng)x＞a 時(shí)，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，分a＞﹣時(shí)和當(dāng)a≤﹣時(shí)兩種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值．

解：（1）對(duì)于函數(shù) f（x）=x2+|x﹣a|+1，

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2+|x|+1為偶函數(shù)，

當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x2+|x|+1為非奇非偶函數(shù)．

（2）①當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，

若a＞時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（）=a+；

若a≤時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=a2+1．

②當(dāng)x＞a 時(shí)，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，

若a＞﹣時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=a2+1；

若a≤﹣時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（﹣）=﹣a+．