Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ ．
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0， ）和（ ，+∞）上的單調(diào)性并用定義法證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）=x2+ ，則其定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，

f（﹣x）=（﹣x）2+ =x2+ =f（x），

故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)

（2）解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）在（0， ）為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)；

證明如下：

設(shè)0＜x1＜x2＜ ，

則f（x1）﹣f（x2）=（x1）2+（ ）﹣（x2）2+（ ）

=[（x1）2﹣（x2）2][ ]=[（x1﹣x2）（x1+x2）][ ]，

又由0＜x1＜x2＜ ，

則f（x1）﹣f（x2）＞0，

則f（x）在（0， ）為減函數(shù)，

同理設(shè) ＜x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（x1）2+（ ）﹣（x2）2+（ ）

=[（x1）2﹣（x2）2][ ]=[（x1﹣x2）（x1+x2）][ ]，

又由 ＜x1＜x2，

分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，

則f（x）在（0， ）為增函數(shù)

【解析】（1）、根據(jù)題意，先分析函數(shù)的定義域，進而求出f（﹣x），分析與f（x）的關(guān)系，即可得證明；（2）、根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）在（0， ）為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)；進而利用作差法證明即可．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱即可以解答此題．