Question

某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售量8萬(wàn)件．
（Ⅰ）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收人不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？
（Ⅱ）為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入

1

6

（x²-600）萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入

1

5

x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)每件定價(jià)為x元，則提高價(jià)格后的銷售量為8-

x-25

1

×0.2，根據(jù)銷售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；
（Ⅱ）依題意，x＞25時(shí)，不等式ax≥25×8+50+

1

6

(x2-600)+

1

5

x有解，等價(jià)于x＞25時(shí)，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，利用基本不等式，我們可以求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)每件定價(jià)為x元，則提高價(jià)格后的銷售量為8-

x-25

1

×0.2，根據(jù)銷售的總收人不低于原收入，有(8-

x-25

1

×0.2)x≥25×8，（3分）
整理得x²-65x+1000≤0，
解得25≤x≤40． （5分）
∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元． （6分）
（Ⅱ）依題意，x＞25時(shí)，
不等式ax≥25×8+50+

1

6

(x2-600)+

1

5

x有解，（8分）
等價(jià)于x＞25時(shí)，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，（9分）
∵

150

x

+

1

6

x≥2

150 x • 1 6 x

=10（當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)，等號(hào)成立），（11分）
∴a≥10.2．此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元（12分）
∴當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元． （13分）

點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，建立函數(shù)模型，同時(shí)應(yīng)注意變量的取值應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義．