Question

（本題滿分16分）

已知圓O：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當(dāng)點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)的軌跡為E．

①求軌跡E的方程；

②過(guò)軌跡E上一定點(diǎn)作相互垂直的兩條直線，并且使它們分別與圓O、軌跡E 相交，設(shè)被圓O截得的弦長(zhǎng)為，設(shè)被軌跡E截得的弦長(zhǎng)為，求的最大值．

  （2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長(zhǎng)度的最值．

 

Answer 1

解：（1）①連結(jié)OB，OA，因?yàn)?i>OA=OB=1，AB=，所以，

所以，所以，在中，，2分

所以軌跡E是以O為圓心，為半徑的圓，

所以軌跡E的方程為；                    ………………………3分

②設(shè)點(diǎn)O到直線的距離分別為，

因?yàn)?sub>，所以，               ……………5分

則，

則

≤4=

，                                ……………8分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，

所以的最大值為；                               ……………9分

（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，，則，．  

當(dāng)A、B、C、D按順時(shí)針?lè)较驎r(shí)，如圖所示，在中，

，

即

       ，

  由，此時(shí)；…………12分

當(dāng)A、B、C、D按逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，在中，

，

即

       ，

  由，此時(shí)，………15分

  綜上所述，線段OC長(zhǎng)度的最小值為，最大值為．     ………16分