Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（Ⅰ）判定AE與PD是否垂直，并說明理由；
（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為

6

2

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可得：△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又因為BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，進而可得答案．
（II）建立坐標系，利用題中的已知條件分別求出兩個平面的法向量，借助于向量的有關(guān)運算計算出向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）垂直．
證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．
又因為BC∥AD，
所以AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．
又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，設(shè)AB=BC=CD=DA=2，所以AE=

3

，
AH⊥PD于H，此時EH與平面PAD所成最大角的正切值為

6

2

，
所以AH=

2

，sin∠PDA=

2

2

，
PA=DA=2，
∴A(0，0，0)，B(

3

，-1，0)，C(

3

，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(

3

，0，0)，F(xiàn)(

3

2

，

1

2

，1)，
所以

AE

=(

3

，0，0)，

AF

=(

3

2

，

1

2

，1)．
設(shè)平面AEF的一法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），
則

m• AE =0 m• AF =0

因此

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

取z₁=-1，
則

m

=（0，2，-1），因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故

BD

為平面AFC的一法向量．
又

BD

=(-

3

，3，0)，所以cos＜

m

，

BD

＞=

m • BD

| m |•| BD |

=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
因為二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為

15

5

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便利用已知條件得到空間的線面關(guān)系，并且便于建立坐標系利用向量的有關(guān)運算解決空間角等問題．