Question

【題目】已知是一個長方體，從點到直線、、的垂線分別交直線、、于點、、，垂足分別為、、．求證：

（1）、、三點共線；

（2）、、三條直線交于一點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

建立如圖的空間直角坐標系．設，，，則長方體的頂點坐標為、、、，、、、．

（1）依題意，設，則，．

因為，則，．故．

設，則，，，．

由

故．

設，則，．

因為，則，．故．

所以，．這表明、、三點共線．

（2）設．

由、、三點共線，得．

又、、三點共線，得．

故

．

所以，．又與有相同的起點，因此，、、共線，即．這表明，、、三線交于一點．

解法2：如圖，設，，．

（1）由射影定理有，．由割線定理有，．

故，．同理，，．

在中，由余弦定理，有

．．

從而，．

同理，在中，有．

故，

．

另一方面，在中，由勾股定理，有．

所以，，、、三點共線．

（2）由射影定理，有，．

又由（1）有．故．

由塞瓦定理，、、三線共點．