Question

如圖，棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的身影。

（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大�。�

（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；

（Ⅲ）求二面角C―BF―E的大小。

Answer 1

方法一：（Ⅰ）因?yàn)镋、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，

所以EF∥AC所以∠BCA是EF與BC所成角。

因?yàn)檎�四面體ABC為正三角形，所以∠BCA = 60°

即EF與BC所成角的大小是60°

（Ⅱ）解法1：

   

如圖，連結(jié)AO，AF，因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，

且△ACD，△BCD均為正三角形，所以BF⊥CD，AF⊥CD

因?yàn)锽F∩AF = F，             所以CD⊥面AFB。

因?yàn)镃D面ACD    所以面AFB⊥面ACD。

因?yàn)锳BCD是正四面體，且O是點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影，

所以點(diǎn)O必在正三角形BCD的中線BF上。

在面ABF中，過O作OG⊥AF，垂足為G，所以O(shè)G⊥面ACD。

即OG的長(zhǎng)為點(diǎn)O到面ACD的距離。

因?yàn)檎�四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，

在△ABF中，容易求出AF= BF =，OF =，AO =，

因?yàn)椤鰽OF∽△OGF，故由相似比易求出OG =。

所以點(diǎn)O到平面ACD的距離是

解法2 ：

如圖，連結(jié)AO，CO，DO，   

所以點(diǎn)O到平面ACD的距離就是三棱錐O―ACD底面ACD上的高h，

與解法1同理容易求出OF=，AO=

所以V_ACOD =?（??1）=。

因?yàn)閂_OCOD = V_ACOD                

所以= V_OACD = ? h ? (??1)   解得h =

（Ⅲ）（文科）

連結(jié)OD，設(shè)OD的中點(diǎn)為K，連結(jié)EK，則EK∥AO。

因?yàn)锳O⊥面BCD。所以EK⊥BCD。

在面BCD內(nèi)，過點(diǎn)K作KN∥CD，KN交BF于M，交AB于N，

因?yàn)锽E⊥CD，所以KN⊥BF，

連結(jié)EM，所以EM⊥BF。所以∠NME是所求二面角的平面角。

因?yàn)镋K=AO =?=，MK =FD =CD =，                   

所以tan∠EMK =。

所以tan∠NME = tan (∠EMK ) =。

所以所求二面角的大小為 arctan  

方法二：

如圖，以點(diǎn)A在面BCD的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向直線OA為z軸，有向直線BF為y軸，x軸為過點(diǎn)O與DC平行的有向直線。

因?yàn)檎�四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，所以可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為：

O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 0 , 0 , ) , B ( 0 , , 0 )

C (,, 0 ) , D (,, 0 )

E ( ,,) , F ( 0 , , 0)

（Ⅰ）因?yàn)?sub>= (,),= (,,0 )

又?=×+××0 =，且|| ==|| = 1

所以cos

所以EF與BC所成角的大小是60°

（Ⅱ）因?yàn)?sub>= (,,) , = (,,),

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為= ( x₁ , y₁ , z₁ )

由? = 0， ? = 0，解得 = ( 0 , 2 ,).

因?yàn)?sub>，? =，| | =，

所以點(diǎn)O到平面ACD的距離等于d =

（Ⅲ）因?yàn)?sub>= (, ) , (0,,0),

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為F_BEF = ( x₂ , y₂ , z₂ )

由可得BEF的一個(gè)法向量F_BEF =。

容易得到平面BCF的一個(gè)法向量F_BCF =（0，0，1）

因?yàn)?i>F_BEF?F_BCF = 3 ，  |F_BEF| =， |F_BCF| = 1

所以cos=.

所以二面角C―BF―E的大小為arccos=arccos