Question

已知B是橢圓＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓右焦點(diǎn)，且BF⊥x軸，．
（I）求橢圓E的方程；
（II）設(shè)A₁和A₂是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，直線l垂直于A₁A₂的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，|OD|=4，P是l上異于點(diǎn)D的任意一點(diǎn)，直線A₁P交橢圓E于M（不同于A₁，A₂），設(shè)，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意，c=1，左焦點(diǎn)為F′（-1，0），則2a=|BF|+|BF′|
∵，∴|BF|=，|BF′|=
∴2a=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓E的方程為；
（II）由（I）知A₁（-2，0），A₂（2，0），設(shè)M（x₀，y₀），則
∵P，M，A₁三點(diǎn)共線，∴
∴，
∴=2（x₀+2）+=（2-x₀）
∵2＜x₀＜2，∴（2-x₀）∈（0，10）
∴λ的取值范圍為（0，10）．
分析：（I）由題意，c=1，左焦點(diǎn)為F′（-1，0），求出|BF|，|BF′|，利用2a=|BF|+|BF′|，即可求得橢圓E的方程；
（II）確定M，P的坐標(biāo)，求得，，表示出，即可求得λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確表示向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式是關(guān)鍵．