Question

甲、乙倆人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為

1

2

，乙每次擊中目標的概率為

2

3

．
（Ⅰ）記甲擊中目標的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多擊中目標2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意得甲擊中目標的次數(shù)ξ為0、1、2、3，根據(jù)獨立重復試驗公式得到變量對應的概率，當變量為0時表示沒有擊中目標，當變量為1時表示擊中目標1次，當變量為2時表示擊中目標2次，當變量為3時表示擊中目標3次，寫出分布列和期望．
（2）乙至多擊中目標2次的對立事件是乙能擊中3次，由對立事件的概率公式得到要求的概率．
（3）甲恰比乙多擊中目標2次包含甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次和甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次，且這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（I）由題意得甲擊中目標的次數(shù)ξ為0、1、2、3，
根據(jù)獨立重復試驗公式得到變量對應的概率，
當變量為0時表示沒有擊中目標，
當變量為1時表示擊中目標1次，
當變量為2時表示擊中目標2次，
當變量為3時表示擊中目標3次，
∴P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

8

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
∴ξ的概率分布如下表：

Eξ=O•

1

8

+1•

3

8

+2•

3

8

+3•

1

8

=1.5，（或Eξ=3•

1

2

=1.5）；

（II）乙至多擊中目標2次的對立事件是乙能擊中3次，
有對立事件的概率公式得到
概率為1-

C

3 3

(

2

3

)3=

19

27

；

（III）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B₁，
甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次為事件B₂，
則A=B₁+B₂，
B₁，B₂為互斥事件P（A）=P（B₁）+P（B₂）=

3

8

•

1

27

+

1

8

•

2

9

=

1

24

∴甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為

1

24

．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應注意解題的格式．