Question

（I）已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證：a₁²+a₂²≥

1

2

；
（II）若a₁，a₂，…a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求證：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

．

Answer 1

（I）證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，
所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，從而得a₁²+a₂² ≥

1

2

，
（II）證明：構(gòu)造函數(shù)
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=2x²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
從而證得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n