Question

一氣球以V（m/s）的速度由地面上升，10分鐘后由觀察點P測得氣球在P的正東方向S處，仰角為45°；再過10分鐘后，測得氣球在P的東偏北30°方向T處，其仰角為60°（如圖，其中Q、R分別為氣球在S、T處時的正投影）．求風向和風速（風速用V表示）．

Answer 1

分析：依題意可知即∠SPQ=

π

4

，∠RPQ=

π

6

，∠TPR=

π

3

，進而可知PQ=QS，RT=2QS，進而根據(jù)PR=RT•cot

π

3

求得PR，進而根據(jù)余弦定理求得QR，推斷出PR²=PQ²+QR²，可知∠PQR=

π

2

，求得答案．

解答：解：10分鐘后由觀察點P測得氣球在P的正東方向，仰角為45°的S點處，
即∠SPQ=

π

4

，所以PQ=QS=600V（m）．
又10分鐘后測得氣球在P的東偏北30°，其仰角為60°的T點處，
即∠RPQ=

π

6

，∠TPR=

π

3

，RT=2QS=1200V（m），
于是PR=RT•cot

π

3

=400

3

V(m)．
在△PQR中由余弦定理得：QR=

PQ2+PR2-2PQ•PRcos∠QPR

=200

3

(m)．
因為PR2=(400

3

V)2=(600V)2+(200

3

V)2=PQ2+QR2，所以∠PQR=

π

2

，
即風向為正南風．
因為氣球從S點到T點經(jīng)歷10分鐘，即600s，
所以風速為

|QR|

600

=

3 V

3

（m/s）．
答：風向為正南風，風速為

3 V

3

m/s．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．解題的關鍵是找到PR，PQ和QR三邊之間的關系．