Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為

3

，則p=

 

．

Answer 1

分析：求出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程，進而求出A，B兩點的坐標，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為

3

，列出方程，由此方程求出p的值．

解答：解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±

b

a

x
又拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是x=-

p

2

，
故A，B兩點的縱坐標分別是y=±

pb

2a

，
又由雙曲線的離心率為2，所以

c

a

=2，則

b

a

=

3

，
A，B兩點的縱坐標分別是y=±

pb

2a

=±

3 p

2

，
又△AOB的面積為

3

，x軸是角AOB的角平分線
∴

1

2

×

3

p×

p

2

=

3

，得p=2．
故答案為：2．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標，列出三角形的面積與離心率的關系也是本題的解題關鍵，有一定的運算量，做題時要嚴謹，防運算出錯．