Question

【題目】在圓周上依次有個點，今隨機地選取其中個點為頂點作凸邊形，已知選取與否的可能性是相同的，試求對每個，邊形的兩個相鄰頂點（規(guī)定）之間至少有中的個點的概率，其中，是給定的一組正整數(shù).

Answer 1

【答案】

【解析】

設是合乎條件的凸邊形，令,

設中與之間有個不屬于，規(guī)定，

則，其中，，

于是， ①

其中，.

這樣，每個組合與方程①的整數(shù)解建立了一一對應，而且方程①的整數(shù)解的個數(shù)為.

所以，符合條件的組合有個.

將每一個組合排在圓周上，有種不同的排法（每個頂點輪換一次），但每個凸邊形有個頂點，每個點作為以相應的間隔（不定方程的解）計算一次，從而，凸邊形被計算次（比如三角形,以點分別作為時，其分別在間隔方式2、3、4、3、4、2、4、2、3中各計算一次），于是，所以符合條件的凸邊形有個.

又從圓周上個點中取個點有種方法，

故所求的概率為：，其中，.