Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)，

其中（且 

⑴求函數(shù)的定義域；

⑵判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明；     

⑶判斷它在區(qū)間（0,1）上的單調(diào)性并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

⑴ ；⑵

⑶區(qū)間（0,1）上為單調(diào)遞增函數(shù)。

【解析】(1)函數(shù)f(x)+g(x)的定義域應(yīng)該是f(x),g(x)定義域的交集即,

，所以，即所求函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1).

(2)由（1）知其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得,

然后再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷出H(-x)=-H(x),從而可知為奇函數(shù)。

(3)利用單調(diào)性的定義第一步取值：任取且；

第二步：作差變形判斷的符號，再判斷時要利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

第三步：得出結(jié)論。

⑴ 由題意得：

所以所求定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811131224857868/SYS201212181114074516287060_DA.files/image001.png">

⑵ 令

則

⑶，

任取且，則，

則

，，

在區(qū)間（0,1）上為單調(diào)遞增函數(shù)。