Question

設(shè)拋物線．
（1）求此拋物線的方程；
（2）設(shè)直線AB上有一點(diǎn)Q，使得A，Q，B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在拋物線上求一點(diǎn)M，使M到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立方程組，得，整理得：2x²-（8+p）x+8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，
由弦長(zhǎng)AB==，能導(dǎo)出此拋物線的方程．
（2）設(shè)Q（x，y），由A，Q，B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，知x=，由此能求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）由M到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小值是Q到準(zhǔn)線的距離，知M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=1，由此能求出點(diǎn)M．
解答：解：（1）聯(lián)立方程組，得，整理得：2x²-（8+p）x+8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∴弦長(zhǎng)AB==，
解得p=2或-18（舍），
所以此拋物線的方程：y²=4x．
（2）設(shè)Q（x，y），
∵A，Q，B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，
∴x=，
∴，
∴．
（3）∵M(jìn)到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小值是Q到準(zhǔn)線的距離，
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=1，
把y=1代入y²=4x，得x=，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．