Question

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=

3

AD，
（1）求證：平面SDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-SB-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）由已知中，SD⊥AD，SD⊥AB，由線面平行的判定定理可得SD⊥平面ABCD，再由面面平行的判定定理可得平面SDB⊥平面ABCD；
（2）由已知及（1）中結(jié)論，我們可以建立空間直角坐標系D-xyz，分別求出平面ASB，及平面SBD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-SB-D的大�。�

解答：解：（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A
∴SD⊥平面ABCD，
又∵SD⊆平面SBD，
∴平面SDB⊥平面ABCD．  …（5分）
（2）由題可知DS、DA、DC兩兩互相垂直．
如圖建立空間直角坐標系D-xyz
設(shè)AD=a，則S（

3

a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），…（6分）
∵

DS

=（

3

a，0，0），

DB

=（0，a，2a），…（7分）
設(shè)面SBD的一個法向量為

n

=（x，y，-1）
則

n • DS =0 n • DB =0

，即

3 ax=0 ay-2az=0

解得 

n

=（0，2，-1）…（8分）
又∵

AB

=（0，0，2a），

SA

=（-

3

a，a，0），
設(shè)面SAB的一個法向量為

m

=（1，y，z），
則

m • AB =0 m • SA =0

，即

2az=0 - 3 a+ay=0

解出 

m

=（1，

3

，0），…（10分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

15

15

故所求的二面角為arccos

15

15

  …（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將空間中二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．