Question

已知的前項(xiàng)和滿足 ，其中（Ⅰ）求證： 首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（Ⅱ）若，求證：，并給指出等號(hào)成立的充要條件。

 

Answer 1

【答案】

：（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng) 或時(shí)等號(hào)成立

【解析】：（Ⅰ）由，即，

因，故，得 

 又由題設(shè)條件知，

  兩式相減得 ，即  由 ，知  ，

因此綜上對(duì)所有成立，從而是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，顯然 ，等號(hào)成立

設(shè) 且，由（Ⅰ）知 ，所以要證的不等式化為 

即證：，當(dāng) 時(shí)，上面不等式的等號(hào)成立

當(dāng) 時(shí)， 與 同為負(fù)；當(dāng)  時(shí) 

與  同為正，因此當(dāng) 且  時(shí)，

總有，即

上面不等式對(duì)從1到 求各得

由此得

綜上，當(dāng) 且 時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng) 或時(shí)等號(hào)成立。

【考點(diǎn)定位】本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，不等式恒成立問題，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，合理猜想與邏輯推理的概念．對(duì)不等式的考查有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，需要同學(xué)有深厚的功底才能勝任本題的解答，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的考查較深