Question

已知兩定點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件∠PBA=2∠PAB，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．

Answer 1

【答案】分析：用動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)體現(xiàn)2∠PAB=∠PBA的最佳載體是直線PA、PB的斜率，確定直線的斜率可求．
解答：解：設(shè)P（x，y），∠PAB=α，則∠PBA=2α，它們是直線PA、PB的傾角還是傾角的補(bǔ)角，與點(diǎn)P在x軸的上方還是下方有關(guān)；以下討論：
①若點(diǎn)P在x軸的上方，α∈（0，），y＞0，
此時(shí)，直線PA的傾角為α，PB的傾角為π-2α，
∴tanα=k_PA=，tan（π-2α）=，（2α≠90）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-=，得：3x²-y²=1，
∵|PA|≥|PB|，∴．
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，y＜0，同理可得點(diǎn)M的軌跡方程為3x²-y²=3（），
③當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，也滿足2∠PAB=∠PBA，此時(shí)y=0，．
綜上所求點(diǎn)的軌跡方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，如何體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件2∠PAB=∠PBA是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．