Question

已知直線l：

1

4

x+b（b≠0）與離心率為

3

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（

4 5

5

，-

5

5

）在橢圓C上但不在直線l上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線PA、PB的斜率之積為定值．

Answer 1

分析：（1）由離心率確定a，b的關(guān)系，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

，求得直線PA、PE的斜率之積，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答：（1）解：由離心率為

3

2

，可得a²=4b²
將P（

4 5

5

，-

5

5

）代入橢圓方程可得

16

5a2

+

1

5b2

=1
∴b²=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1
（2）證明：將直線方程代入橢圓方程，消去y可得5x²+8bx+16（b²-1）=0①，
則64b²-4×5×16（b²-1）＞0，∴-

5

2

＜b＜

5

2

∵點(diǎn)P不在直線l上，∴b≠-

2 5

5

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

則直線PA、PE的斜率之積為

4 5 b2- 8 5 5 b

16b2 5 + 32 5 5 b

=

1

4

∴直線PA、PE的斜率之積為定值

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．