Question

設F為拋物線y²=4x的焦點，A、B為該拋物線上兩點，若

FA

+2

FB

=

0

，則|

FA

|+2|

FB

|等于

 

．

Answer 1

分析：先過A，B兩點分別作準線的垂線，再過B作AC的垂線，垂足為E，如圖，在直角三角形ABE中，求得cos∠BAE=

AE

AB

=

1

3

得出直線AB的斜率，進而得到直線AB的方程為：y=2

2

（x-1），將其代入拋物線的方程求得A，B的坐標，最后利用距離公式求得結果即可．

解答：解：過A，B兩點分別作準線的垂線，再過B作AC的垂線，垂足為E，
設BF=m，則BD=m，
∵

FA

+2

FB

=

0

，
∴AC=AF=2m，
如圖，在直角三角形ABE中，
AE=AC-BD=2m-m=m，
AB=3m，∴cos∠BAE=

AE

AB

=

1

3

∴直線AB的斜率為：k=tan∠BAE=2

2

∴直線AB的方程為：y=2

2

（x-1）
將其代入拋物線的方程化簡得：2x²-5x+2=0
∴x₁=2，x₂=

1

2

∴A（2，2

2

）．B（

1

2

，

2

），又F（1，0）
則|

FA

|+2|

FB

|=2

1+8

=6．
故答案為：6．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質、共線向量及解三角形的知識，解答本題的關鍵是利用拋物線的定義作出直角三角形ABE，從而求得直線的斜率，體現了數形結合起來的思想．