Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足a=bsinA．
（Ⅰ）求B的大��；
（Ⅱ）求cosA+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）結(jié)合已知表達(dá)式，利用正弦定理直接求出B的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）得到A+C的值，化簡(jiǎn)cosA+cosC為一個(gè)角的三角函數(shù)，結(jié)合角的范圍即可求出表達(dá)式的取值范圍

解答：解：（Ⅰ）由a=bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=sinBsinA，A、B是△ABC的內(nèi)角
所以sinA≠0，
所以sinB=1，
得B=

π

2

．         （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+C=

π

2

，
則有cosA+cosC=cosA+cos（

π

2

-A）=cosA+sinA=

2

sin(A+

π

4

)，
∵A∈(0，

π

2

)
∴A+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)，
∴sin（A+

π

4

]∈(

2

2

，1]，

2

sin(A+

π

4

)∈（1，

2

]，
故cosA+cosC∈（1，

2

]
（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，正弦定理與兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．