Question

【題目】已知圓，直線.圓與軸交于兩點(diǎn)，是圓上不同于的一動(dòng)點(diǎn)，所在直線分別與交于.

（1）當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程；

（2）證明：以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直線的方程，直線的方程分別與直線方程聯(lián)立，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，即可得出該圓的方程；

（2）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，再由圓的弦長公式化簡即可證明.

（1）由圓的方程可知，

①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，如下圖所示

當(dāng)時(shí)，，

所以直線的方程為

由，解得

直線的方程為

由，解得

則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以以為直徑的圓的方程為

②當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，如下圖所示

當(dāng)時(shí)，，

所以直線的方程為

由，解得

直線的方程為

由，解得

則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以以為直徑的圓的方程為

綜上，以為直徑的圓的方程為

（2）①當(dāng)點(diǎn)在圓上半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，取直線交軸于點(diǎn)，如下圖所示

設(shè)，則

則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑

所以以為直徑的圓截軸所得弦長為

②當(dāng)點(diǎn)在圓下半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，取直線交軸于點(diǎn)，如下圖所示

設(shè)，則

則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑

所以以為直徑的圓截軸所得弦長為

綜上，以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.