Question

（08年山東卷文）（本小題滿分14分）

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點(diǎn)．

（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）由題意得

又，

解得，．

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）（1）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，

．

解方程組得，，

所以．

設(shè)，由題意知，

所以，即，

因為是的垂直平分線，

所以直線的方程為，

即，

因此，

又，

所以，

故．

又當(dāng)或不存在時，上式仍然成立．

綜上所述，的軌跡方程為．

（2）當(dāng)存在且時，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是．

當(dāng)，．

當(dāng)不存在時，．

綜上所述，的面積的最小值為．

解法二：因為，

又，，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，

此時面積的最小值是．

當(dāng)，．

當(dāng)不存在時，．

綜上所述，的面積的最小值為．