Question

已知定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，有下列命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=4k+2（k∈Z）對(duì)稱；
②函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[8k-6，8k-2]（k∈Z）；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2012，2012）上恰有1006個(gè)極值點(diǎn)；
④若關(guān)于x的方程f（x）-m=0在區(qū)間[-8，8]上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1 個(gè)
B．2 個(gè)
C．3 個(gè)
D．4 個(gè)

Answer 1

【答案】分析：依題意，可得f（x-8）=f（x），從而可求得f（x）的周期，再由f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，可對(duì)①②③④逐個(gè)判斷，得到答案．
解答：解：對(duì)于①，∵定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），
∴f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），即f（x-8）=f（x），
∴f（x）是以8為周期的函數(shù)，8k（k∈Z且k≠0）也是其周期，又f（x）為R上的連續(xù)奇函數(shù)，
由f（x-4）=-f（x）得，f（-x-4）=-f（-x）=f（x），
∴f（-x-4+8）=f（x），即f（4-x）=f（x），又8k（k∈Z且k≠0）是其周期，
∴f（8k+4-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=4k+2（k∈Z）對(duì)稱，故①正確；
作圖如下：

由圖可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[8k-6，8k-2]（k∈Z），故②錯(cuò)誤；
由圖可知，f（x）在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，在區(qū)間（-2012，2012）上有503個(gè)周期，故恰有1006個(gè)極值點(diǎn)，③正確；
由圖中a，b，c，d及x軸五條直線可知，關(guān)于x的方程f（x）-m=0在區(qū)間[-8，8]上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8，故④正確．
綜上所述，①③④正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性、單調(diào)性、極值點(diǎn)及函數(shù)圖象，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．