Question

設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象關(guān)于直線x=

2

3

π對稱，且它的最小正周期為π，則（　�。�

• A．f（x） 在區(qū)間[

  5

  12

  π，

  2

  3

  π]上是減函數(shù)
• B．f（x） 的圖象經(jīng)過點（0，

  1

  2

  ）
• C．f（x）的圖象的一個對稱中心是（

  5

  12

  π，0）
• D．f（x） 的最大值為A

Answer 1

分析：根據(jù)周期求出ω，根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

2π

3

對稱求出φ，可得函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷各個選項是否正確

解答：解：由題意可得

2π

ω

=π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．
再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

2π

3

對稱，故f（

2π

3

）=Asin（

4π

3

+φ）=±A，故可取φ=

π

6

．
故函數(shù)f（x）=Asin（2x+

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z，故選項A不正確．
由于A不確定，故選項B不正確． 令2x+

π

6

=kπ，k∈z，可得 x=

kπ

2

-

π

12

，k∈z，
故函數(shù)的對稱中心為 （

kπ

2

-

π

12

，0），k∈z，故選項C正確．
由于A的值的符號不確定，故選項D不正確．
故選C

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．