Question

已知函數(shù)f（x）=+lnx．
（I）當(dāng)時(shí)，求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）-x在[1，e]上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（x＞0），
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，e]時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在（2，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上有唯一極小值點(diǎn)，
故f（x）_min=f（x）_極小值=f（2）=ln2-1．
又∵f（1）=0，f（e）=．
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（x）_max=f（1）=0．
綜上可知，函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2-1．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-x，
∴g′（x）=，
設(shè)h（x）=-ax²+4ax-4，由題意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，
因?yàn)閍＞0，h（x）圖象的對(duì)稱軸為x=2，
所以只需h（1）=3a-4≥0，所以a≥．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值與最值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)g′（x）=，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-ax²+4ax-4，由題意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，從而可求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．