Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M是A₁B的中點．
（Ⅰ）在線段B₁C₁上是否存在一點N，使得MN⊥平面A₁BC？若存在，找出點N的位置幷證明；若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求平面A₁AB和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，可以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出N點坐標(biāo)，根據(jù)MN⊥平面A₁BC，則

MN

•

BA1

=0，

MN

•

CA1

=0，構(gòu)造方程組，若方程組有解，則存在滿足條件點N，若方程組無解，則不存在滿足條件點N；
（II）分別求出平面A₁AB和平面A₁BC的法向量，代入向量夾角公式，求出平面A₁AB和平面A₁BC所成角的余弦值，進(jìn)而可以求出平面A₁AB和平面A₁BC所成角的．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意CA、CB、CC₁兩兩互相垂直
如圖：以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AC=BC=CC₁=a，則A₁（a，0，a），M(

a

2

，

a

2

，

a

2

)，B（0，a，0），B₁（0，a，a），A（a，0，0），C₁（0，0，a），
假設(shè)在B₁C₁上存在一點N，使MN⊥平面A₁BC，設(shè)N（0，y，a）
所以

BA1

=（a，-a，a），

CA1

=（a，0，a），

MN

=(-

a

2

，y-

a

2

，

a

2

)
由

MN

•

BA1

=0，

MN

•

CA1

=0，得：y=

a

2

∴N在線段B₁C₁的中點處（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN⊥平面A₁BC，則平面A₁BC的一個法向量為

n

=(1，0，-1)分
取AB中點D，連接CD，易證CD⊥平面A₁AB
∴可得面A₁AB的一個法向量

n1

=(

1

2

，

1

2

，0)（8分）
cos?

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

1 2

2 • 2 2

=

1

2

所以面A₁AB和面A₁BC所成的角為

π

3

．（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間線線垂直及面面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量垂直和向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．