Question

（選做題）請考生在A、B、C三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清題號．
A．選修4-1（幾何證明選講）已知AD為圓O的直徑，直線BA與圓O相切與點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12．
（Ⅰ）求證：BA•DC=GC•AD；（Ⅱ）求BM．
B．選修4-4（坐標系與參數(shù)方程）求直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數(shù)）被曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截的弦長．
C．選修4-5（不等式選講）（Ⅰ）求函數(shù)y=3

x-5

+4

6-x

的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求證：a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．

Answer 1

分析：A．（Ⅰ）因為AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圓O的直徑，所以∠DCA=90°因為∠BAG=∠ADC，所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以

BA

AD

=

AG

DC

，由此能夠證明BA•DC=GC•AD．
（Ⅱ）因為AC=12，所以AG=6，因為AB=10，所以BG=

AB2-AG2

=8，由Rt△AGB∽Rt△DCA，所以

AB

AD

=

BG

AC

，所以圓的直徑2r=15，由此能求出BM．
B．由

x=1+4t y=-1-3t

得直線的普通方程為3x+4y+1=0，由ρ=

2

cos(θ+

π

4

)=cosθ-sinθ，得(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，再由點到直線的距離公式能名求出所求的弦長．
…（12分）
C．（Ⅰ）函數(shù)定義域為[5，6]，y＞0．由y=3

x-5

+4

6-x

=3•

x-5

+4•

6-x

≤

32+42

×

( x-5 )2+( 6-x )2

=5，能求出y_max．
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）

=a4-2a2b2+b4-4ab(a2-2ab+b2)

=（a-b）⁴，由此能夠證明a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．

解答：A．（Ⅰ）證明：因為AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圓O的直徑，所以∠DCA=90°
又因為∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所對圓周角）
所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以

BA

AD

=

AG

DC

又因為OG⊥AC，所以GC=AG
所以

BA

AD

=

GC

DC

，即BA•DC=GC•AD…（6分）
（Ⅱ）解：因為AC=12，所以AG=6，
因為AB=10，所以BG=

AB2-AG2

=8
由（1）知：Rt△AGB∽Rt△DCA，所以

AB

AD

=

BG

AC

所以AD=15，即圓的直徑2r=15
又因為AB²=BM•（BM+2r），即BM²+15BM-100=0
解得BM=5．…（12分）
B．解：由

x=1+4t y=-1-3t

得直線的普通方程為3x+4y+1=0，
∵ρ=

2

cos(θ+

π

4

)=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ∴x²+y²=x-y，
即(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，
由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離d=

1

10

，
∴所求的弦長為2×

1 2 - 1 100

=

7

5

．
…（12分）
C．解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為[5，6]，y＞0．
∵y=3

x-5

+4

6-x

=3•

x-5

+4•

6-x

≤

32+42

×

( x-5 )2+( 6-x )2

=5
當且僅當x-5=6-x時，即當x=

11

2

時，
y_max=5．…（6分）
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）

=a4-2a2b2+b4-4ab(a2-2ab+b2)

=（a²-b²）²-4ab（a-b）²=（a+b）²（a-b）²-4ab（a-b）²
=（a-b）²（a²+2ab+b²-4ab）=（a-b）²（a-b）=（a-b）⁴
∵a≠b，
∴(a-b)4＞0
∴a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．…（12分）

點評：A考查直線與圓的位置關系，是基礎題，解題時要認真審題，注意三角形相似的性質(zhì)和應用；
B考查參數(shù)方程和極坐標，是基礎題．解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)和點到直線的距離公式的靈活運用；
C考查不等式的性質(zhì)和證明，是基礎題．解題時要認真審題，注意作差法在不等式證明中的靈活運用．