Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD與平面ABCD所成角的正切值依次是1和

1

2

，AP=2，E，F(xiàn)依次是PB，PC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由E，F(xiàn)依次是PB，PC的中點，知EF∥BC，由底面ABCD是矩形，知BC∥AD，所以EF∥AD，由此能證明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）由PA⊥平面AABCD，知CD⊥PA，由CD⊥AD，知CD⊥平面PAD，取PA中點G，CD中點H，由題設(shè)條件推導(dǎo)出∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角．由此能求出直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：在△PBC中，
∵E，F(xiàn)依次是PB，PC的中點，
∴EF∥BC，
∵底面ABCD是矩形，∴BC∥AD，
∴EF∥AD，
∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面AABCD，∴CD⊥PA，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
取PA中點G，CD中點H，連接EG、GH、GD，
則EG∥AB∥CD，且EG=

1

2

AB=1，∴EGHC是平行四邊形，
∴∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角．
在Rt△GAD中，GH=

18

，
sin∠HGD=

HD

GH

=

1

18

=

2

6

，
∴直線EC與平面PAD所成角的正弦值為

2

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．