Question

已知(

x

+

1

2 x

)n展開式中的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由于(

x

+

1

2 x

)n展開式中的前三項(xiàng)系數(shù)為：

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，這三數(shù)成等差數(shù)列⇒2×

1

2

C

1 n

=

C

0 n

+

1

4

C

2 n

，從而可求得n；
（2）由（1）求得n=8，利用(

x

+

1

2 x

)n展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=

C

r n

•(x

1

2

)n-r•(

1

2

)r•(x-

1

2

)r=(

1

2

)r•

C

r n

•x

n-2r

2

，由

n-r

2

=0求得r，從而可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 x

)n展開式中的前三項(xiàng)系數(shù)

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

成等差數(shù)列，
∴2×

1

2

C

1 n

=

C

0 n

+

1

4

C

2 n

，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍去），
∴n=8；
（2）∵(

x

+

1

2 x

)8展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=

C

r 8

•(x

1

2

)8-r•(

1

2

)r•(x-

1

2

)r=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

8-2r

2

，
∴要使T_r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則8-2r=0，
∴r=4，
∴常數(shù)項(xiàng)為：T₅=(

1

2

)4•

C

4 8

=

35

8

．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用與等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握好二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．